MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

equação Graceli dimensional relativista  tensorial quântica de campos  G* =  = [  /  IFF ]   G* =   /  G  /     .=   /  G  = [DR] =            .= +   +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

//////

[  /  IFF ]  = INTERAÇÕES DE FORÇAS FUNDAMENTAIS. =

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

G* =  OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI,  E OUTROS.

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

A Lei de Moseley é uma lei empírica obtida pela relação entre raios-X característicos dos átomos. É importante historicamente na justificação do modelo nuclear para o átomo, em que toda a carga positiva está contida no núcleo do átomo, e é associada ao seu número de elétrons. Na época de Moseley, o número atômico era apenas a posição do elemento na tabela periódica, sem significado físico.^[1]

História[editar | editar código-fonte]

Nas conversas com Niels Bohr em 1913, Moseley ficou interessado no modelo atômico de Bohr, em que o espectro de emissão eletromagnética dos átomos é proporcional à raiz quadrada de Z, ou seja, à carga elétrica no núcleo (que tinha sido descoberta dois anos antes). O modelo de Bohr tinha sido bem sucedido em demonstrar a fórmula empírica de Rydberg para o átomo de Hidrogênio, porém não conseguia explicar o espectro para os elementos mais massivos. Em particular, apenas dois anos antes, Rutherford em 1911, postulou que o Z para átomos de prata menos que a metade de sua massa e pouco tempo depois, Antonius van den Broek sugeriu que o valor de Z não era a metade da massa atômica, mas era exatamente o número atômico, ou a posição na tabela periódica. Até aquela época, não se conhecia qualquer significado físico para a posição do elemento na tabela periódica, com exceção da ordenação de algumas propriedades químicas.

Na maioria dos casos, a tabela periódica tende a ficar de acordo com a massa atômica, porém existem alguns casos famosos de átomos com número atômico maior e massa menos, como por exemplo o cobalto com massa 58,9 e Z=27 e o níquel de massa 58,7 e Z=28.

Como o espectro de emissão para átomos com Z altos estão na faixa dos raios-X moles (facilmente absorvidos pelo ar), Moseley precisou utilizar tubos de vácuo. Usando as técnicas de difração de raios-X, Moseley descobriu que as linhas de emissões mais intensas dos átomos eram intrinsecamente relacionadas com o número atômico Z.

Essa linha atualmente é conhecida como linha K-alfa. E finalmente Moseley descobriu que essa relação podia ser descrita por uma fórmula simples, que ficou conhecida como a Lei de Moseley.

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle �={�}_1\cdot (�-{�}_2{)}^2}$

Onde:

${\displaystyle �}$ é a frequencia de emissão da linha Kα

${\displaystyle {�}_1}$ and ${\displaystyle {�}_2}$ são constantes que dependem do tipo de linha

Por exemplo, os valores de ${\displaystyle {�}_1}$ e ${\displaystyle {�}_2}$ são os mesmos para todas as linhas ${\displaystyle {�}_{�}}$ então a fórmula pode ser simplificada para:

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle �=(2.47\times {10}^{15})\cdot (�-1{)}^2}$ Hz

Moseley escolheu mostrar a fórmula sem ${\displaystyle {�}_1}$ mais com um número constante puro, no estilo de Johannes Rydberg, deixando a constante como 3/4 (ou 1- 1/4) da frequência fundamental de Rydberg ((3.29*10¹⁵ Hz) para as linhas ${\displaystyle {�}_{�}}$ e novamente para as linhas ${\displaystyle {�}_{�}}$, ${\displaystyle {�}_1}$ ficou igual a 1/4 - 1/9 = 5/36 vezes a frequência de Rydberg, essa foi a forma que Moseley escolheu para escrever sua fórmula.^[2]

A constante empírica ${\displaystyle {�}_2}$ é dado pelo fit dos dados das linhas de emissão ${\displaystyle {�}_{�}}$ e ${\displaystyle {�}_{�}}$ Moseley obteve o valor (Z - 7.4)² para as linhas ${\displaystyle {�}_{�}}$ e ${\displaystyle {�}_2}$ igual a 1 para as linhas ${\displaystyle {�}_{�}}$.

Abaixo está a formulação original de Moseley (com os dois lados elevado ao quadrado para melhor clareza).

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle �({�}_{�})=(3.29\times {10}^{15})\cdot 3/4\cdot (�-1{)}^2}$ Hz

${\displaystyle �({�}_{�})=(3.29\times {10}^{15})\cdot 5/36\cdot (�-7.4{)}^2}$ Hz

Derivação e justificativo do modelo de Bohr do núcleo atômico de Rutheford[editar | editar código-fonte]

Moseley deduziu sua fórmula empiricamente plotando a raiz quadrada das frequências de emissão de raios-x em função do número atômico, entretanto, sua dedução podia ser explicada em termos do modelo de Bohr (veja detalhes para a derivação para o átomo de Hidrogênio), se certos pressupostos razoáveis sobre a estrutura atômica dos outros elementos forem feitos, porém na época em que Moseley derivou sua lei, nem ele e nem Bohr conseguiu explicar a sua forma.

A fórmula empírica de Rydberg é explicada pelo modelo de Bohr através da descrição de transições ou saltos quânticos entre um nível de energia a outro no átomo de Hidrogênio. Quando um elétron salta de um nível energético para outro, um fóton é emitido. Usando a fórmula para diferentes níveis de energia, é possível determinar as energias, ou frequências que um átomo de Hidrogênio pode emitir.

A energia do fóton que um átomo de hidrogênio emite no modelo de Bohr, é dado pela diferença de energia entre dois níveis.

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle �=ℎ�={�}_{�}-{�}_{�}=\frac{{�}_{�}{�}_{�}^2{�}_{�}^2}{8{ℎ}^2{�}_0^2}\left(\frac{1}{{�}_{�}^2}-\frac{1}{{�}_{�}^2}\right)}$

(note que Bohr usou unidades de Planck em que ${\displaystyle {�}_0=1/4�}$), e

${\displaystyle {�}_{�}}$ = massa do elétron

${\displaystyle {�}_{�}}$ = carga do elétron (1.602 × 10⁻¹⁹ coulombs)

${\displaystyle {�}_{�}}$ = número quântico do nível final de energia

${\displaystyle {�}_{�}}$ = número quântico do nível inicial de energia

Assume-se que o nível de energia final é menor do que o nível inicial.

Por exemplo, para o hidrogênio, a fórmula fica ${\displaystyle {�}_{�}^2{�}_{�}^2={�}_{�}^4}$ por que o Z (a carga elétrica positiva no núcleo) é igual a 1, com isso, o núcleo de hidrogênio contém uma única carga. Assim, para o átomo de hidrogênio (onde o elétron pode ser descrito como uma nuvem esférica entorno do núcleo) Bohr percebeu que era necessário acrescentar uma quantidade adicional ao termo convencional ${\displaystyle {�}_{�}^4}$ a fim de explicar a atração extra sobre o elétron, e portanto a energia extra entre os níveis quânticos.

Isso foi feito em 1914 quando Bohr conseguiu adaptar a fórmula de Moseley, através de duas definições. A primeira é de que o elétron responsável pela linha espectral mais brilhante (Kα), que Moseley tinha estudado para diversos elementos, era resultado da transição de um único elétron entre as camadas K e L do átomo (i.e., da camada mais próxima do núcleo para a segunda mais próxima), com números de energia quântica de 1 e 2. Finalmente, o Z, embora ainda na raiz quadrada, requer que seja subtraído 1 para calcular o Kα (Após a morte de Moseley, isso foi entendido como uma correção da conta devido a carga total do núcleo, menos um elétron que remanesceu na camada K, visto simplesmente como elétron 1s). Em todo caso, o termo (Z-1) requer que esteja em uma raiz quadrada para se ajustar aos dados empíricos, então a conta de Bohr para a fórmula de Moseley para a linha Kα fica:

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle �=ℎ�={�}_{�}-{�}_{�}=\frac{{�}_{�}{�}_{�}^4(�-1{)}^2}{8{ℎ}^2{�}_0^2}\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)}$

ou dividindo ambos os lados por h para converter E para f):

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle �=�=\frac{{�}_{�}{�}_{�}^4}{8{ℎ}^3{�}_0^2}\left(\frac{3}{4}\right)(�-1{)}^2=(2.47\ast {10}^{15}\mathrm{H}\mathrm{z})(�-1{)}^2}$

Agrupando todos os termos constantes da fórmula em uma única, resulta em um termo de frequência equivalente a 3/4 da energia de ionização de 13,6 eV (veja constante de Rydberg para hidrogênio = 3.29 x 10¹⁵ Hz), como o valor final de 2.47 x 10¹⁵ Hz, uma boa aproximação com o valor obtido empiricamente por Moseley de 2.48 x 10¹⁵ Hz. Essa frequência fundamental é igual a linha alfa da série de Lyman para o hidrogênio, porque a transição 1s para 2p é responsável pela linha alfa de Lyman no hidrogênio e para as linhas Kα do espectro de raios-X para elementos acima do hidrogênio, Moseley tinha plena consciência de que sua frequência fundamental era a linha alfa de Lyman, que a frequência fundamental de Rydberg resultava de duas energias atômicas fundamentais, e por isso que a diferença do fator de Rydberg-Bohr era de exatamente 3/4.

Na física atômica, o átomo de Bohr é um modelo que descreve o átomo como um núcleo pequeno e carregado positivamente cercado por elétrons em órbita circular.^[1]

Ernest Rutherford, no início do século XX, realiza o experimento conhecido como espalhamento de Rutherford ,^[2] no qual ele incidiu um feixe de partículas alfa (α) sobre uma folha de ouro e observou que, ao contrário do que era esperado - que as partículas deveriam ser refletidas pelos átomos de ouro considerados maciços até então -, muitas partículas atravessaram a folha de ouro e outras sofreram desvios. A partir da análise dessa experiência, afirmou que átomos eram constituídos de uma nuvem difusa de elétrons carregados negativamente que circundavam um núcleo atômico denso, pequeno e carregado positivamente.^[1]

A partir dessa descrição, é fácil deixar-se induzir por uma concepção de um modelo planetário para o átomo, com elétrons orbitando ao redor do "núcleo-sol". Porém, a aberração mais séria desse modelo é a perda de energia dos elétrons através da radiação síncrotron: uma partícula carregada eletricamente ao ser acelerada emite radiações eletromagnéticas que têm energia; fosse assim, ao orbitar em torno do núcleo atômico, o elétron deveria gradativamente emitir radiações e cada vez mais aproximar-se do núcleo, em uma órbita espiralada, até finalmente chocar-se contra ele. Um cálculo rápido mostra que isso deveria ocorrer quase que instantaneamente.

Postulado de Bohr[editar | editar código-fonte]

Niels Bohr

Através das descrições quânticas da radiação eletromagnética propostas por Albert Einstein e Max Planck, o físico dinamarquês Niels Bohr desenvolve seu modelo atômico a partir de quatro postulados:^[3]

1. Os elétrons que circundam o núcleo atômico existem em órbitas que têm níveis de energia quantizados.
2. A energia total do elétron (cinética e potencial) não pode apresentar um valor qualquer e sim, valores múltiplos de um quantum.^[1]
3. Quando ocorre o salto de um elétron entre órbitas, a diferença de energia é emitida (ou suprida) por um simples quantum de luz (também chamado de fóton), que tem energia exatamente igual à diferença de energia entre as órbitas em questão.
4. As órbitas permitidas dependem de valores quantizados (bem definidos) de momento angular orbital, L, de acordo com a equação

${\displaystyle \mathbf{�}=�\cdot \hslash =�\cdot \frac{ℎ}{2�}}$ 

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde n = 1, 2, 3, ... é chamado de número quântico principal e h é a constante de Planck.^[4]

A regra 4 afirma que o menor valor possível de n é 1. Isto corresponde ao menor raio atômico possível, de 0,0529 nm, valor também conhecido como raio de Bohr. Nenhum elétron pode aproximar-se mais do núcleo do que essa distância.

O modelo de átomo de Bohr é às vezes chamado de modelo semi-clássico do átomo, porque agrega algumas condições de quantização primitiva a um tratamento de mecânica clássica. Este modelo certamente não é uma descrição mecânica quântica completa do átomo. A regra 2 diz que as leis da mecânica clássica não valem durante um salto quântico, mas não explica que leis devem substituir a mecânica clássica nesta circunstância. A regra 4 diz que o momento angular é quantizado, mas não diz por quê.

Expressão para o raio de Bohr[editar | editar código-fonte]

Considere o caso de um íon com a carga do núcleo sendo Ze e um eléctron movendo-se com velocidade constante v ao longo de um círculo de raio r com centro no núcleo.^[5]

A força de Coulomb sobre o electrão é

${\displaystyle �=\frac{�.{�}^2}{4�{�}_{�}{�}^2}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

A força de Coulomb é a força centrípeta. Logo:

${\displaystyle �=\frac{�.{�}^2}{4�{�}_{�}{�}^2}=\frac{�.{�}^2}{�}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Usando a regra de quantização do momento angular de Bohr:

${\displaystyle �=�.�.�=\frac{ℎ}{2�}=\hslash }$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Temos para o n-ésimo raio de Bohr:

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{{�}_{�}{�}^2{ℎ}^2}{�.��{�}^2}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

E a velocidade do electrão na n-ésima órbita:

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{�.{�}^2}{2{�}_{�}ℎ.�}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Equação de Rydberg[editar | editar código-fonte]

A equação de Rydberg, que era conhecida empiricamente antes da equação de Bohr, está agora na teoria de Bohr para descrever as energias de transições entre um nível de energia orbital e outro. A equação de Bohr dá o valor numérico da já conhecida e medida constante de Rydberg, e agora em termos de uma constante fundamental da natureza, inclui-se a carga do elétron e a constante de Planck.^[1] Quando o elétron é movido do seu nível de energia original para um superior e, em seguida, recua um nível retornando à posição original, resulta num fóton a ser emitido. Usando a fórmula derivada para os diferentes níveis de energia de hidrogênio, determinam-se os comprimentos de onda da luz que um átomo de hidrogênio pode emitir. A energia de um fóton emitido por um átomo de hidrogênio é determinado pela diferença de dois níveis de energia de hidrogênio:^[1]

${\displaystyle �={�}_{�}-{�}_{�}={�}_{�}\left(\frac{1}{{�}_{�}^2}-\frac{1}{{�}_{�}^2}\right)}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde n_i é o nível inicial , e n_f é o nível final de energia. Uma vez que a energia de um fóton está

${\displaystyle �=\frac{ℎ�}{�},}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

o comprimento de onda do fóton emitido é dada pela

${\displaystyle \frac{1}{�}=�\left(\frac{1}{{�}_{�}^2}-\frac{1}{{�}_{�}^2}\right).}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Isto é conhecido como a equação de Rydberg, e o R da constante Rydberg é ${\displaystyle {�}_{�}/ℎ�}$ , ou ${\displaystyle {�}_{�}/2�}$ em unidades naturais . Esta equação foi conhecida no século XIX pelos cientistas que estudavam a espectroscopia, mas não havia nenhuma explicação teórica para estas equações ou uma previsão teórica para o valor de R, até Bohr. A propósito, a derivação de Bohr da constante Rydberg, bem como o acordo concomitante da equação de Bohr com as experimentalmente observadas linhas espectrais de Lyman (${\displaystyle {�}_{�}=1}$), Balmer (${\displaystyle {�}_{�}=2}$), e Paschen (${\displaystyle {�}_{�}=3}$), e a previsão teórica bem sucedida de outras linhas ainda não observadas, foi uma das razões para o seu modelo ser imediatamente aceito. Para aplicar em átomos com mais de um elétron, a equação de Rydberg pode ser modificada pela substituição de "Z" por "Z - b" ou "n" por "n - b", em que b é uma constante que representa o efeito de triagem devido a outros elétrons. Isto foi estabelecido empiricamente antes de Bohr apresentar seu modelo.^[6]

Níveis energéticos dos elétrons em um átomo de hidrogênio[editar | editar código-fonte]

O modelo do átomo de Bohr explica bem o comportamento do átomo de hidrogênio e do átomo de hélio ionizado, mas é insuficiente para átomos com mais de um elétron.

Segue abaixo um desenvolvimento do modelo de Bohr que demonstra os níveis de energia no hidrogênio.

Sejam as seguintes convenções:

1. Todas as partículas são como ondas e, assim, o comprimento de onda do elétron, ${\displaystyle �}$, está relacionado à sua velocidade por

${\displaystyle �=\frac{ℎ}{{�}_{�}�}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde h é a constante de Planck e m_e, a massa do elétron. Bohr não tinha levantado esta hipótese porque só depois é que foi proposto o conceito associado a esta afirmação (veja dualidade onda-partícula). Porém, permite chegar na próxima afirmação.

2. A circunferência da órbita do elétron deve ser um múltiplo inteiro de seu comprimento de onda:

${\displaystyle 2��=��}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde r é o raio da órbita do elétron e n, um número inteiro positivo.

3. O elétron mantém-se em órbita por forças eletrostáticas. Isto é, a força eletrostática é igual à força centrípeta:

${\displaystyle \frac{�{�}_{�}^2}{{�}^2}=\frac{{�}_{�}{�}^2}{�}}$/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde ${\displaystyle �=\frac{1}{4�{�}_0}}$ / G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

e q_e, a carga elétrica do elétron.

Temos três equações e três incógnitas: v, ${\displaystyle �}$ e r. Depois de manipulações algébricas para obter v em função das outras variáveis, pode-se substituir as soluções na equação da energia total do elétron:

${\displaystyle �={�}_{��������}+{�}_{���������}=\frac{1}{2}{�}_{�}{�}^2-\frac{�{�}_{�}^2}{�}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Pelo teorema do virial, a energia total simplifica-se para

${\displaystyle �=-\frac{1}{2}{�}_{�}{�}^2}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle {�}_{�}}$	${\displaystyle =-2{�}^2{�}^2\left(\frac{{�}_{�}{�}_{�}^4}{{ℎ}^2}\right)\frac{1}{{�}^2}}$
	${\displaystyle =\frac{-{�}_{�}{�}_{�}^4}{8{ℎ}^2{�}_0^2}\frac{1}{{�}^2}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Ou, depois de substituídos os valores das constantes:^[7]

${\displaystyle {�}_{�}=\frac{-13.6\mathbf{�}\mathbf{�}}{{�}^2}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Assim, o menor nível de energia do hidrogênio (n = 1) é cerca de -13.6 eV. O próximo nível de energia (n = 2) é -3.4 eV. O terceiro (n = 3), -1.51 eV, e assim por diante. Note que estas energias são menores que zero, o que significa que o elétron está em um estado de ligação com o próton presente no núcleo. Estados de energia positiva correspondem ao átomo ionizado, no qual o elétron não está mais ligado, mas em um estado desagregado.

O modelo atômico de Bohr pode ser facilmente usado para a composição do modelo atômico de Linus Pauling. Apenas somando as camadas e as colocando na ordem de Pauling.

Frequência[editar | editar código-fonte]

A frequência orbital^[5]

${\displaystyle �=\frac{�}{2�}=\frac{�}{2�.�}}$ (X)

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Onde ${\displaystyle �}$ é a velocidade angular orbital do elétron.

${\displaystyle \frac{�{�}^2}{{�}^2}=\frac{�.{�}^2}{�}\Rightarrow �.{�}^2=\frac{�{�}^2}{�}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

A partir da Equação - acima - do movimento orbital mantido pela força de Coulomb acima temos

${\displaystyle \frac{�}{�}=\sqrt{\frac{�.{�}^2}{�.{�}^3}}}$

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Substituindo esta expressão na Equação (X) temos:

${\displaystyle �=\frac{1}{2�}\sqrt{\frac{�.{�}^2}{�.{�}^3}}}$ (Z)

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Para o átomo - ${\displaystyle ��=7�{10}^{15}��}$, 

/ G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

a qual está na região ultravioleta do espectro electromagnético.

Se o elétron irradia, a energia E irá decrescer tornando-se cada vez negativa e a partir da Equação do raio da órbita r também diminui. O decréscimo em r na Equação (Z), provoca um aumento na frequência f.

De modo que temos um efeito de pista que quando a energia é irradiada, E diminui, o raio orbital r diminui, a qual por sua vez causa um aumento da frequência orbital f e aumentando continuamente a frequência irradiada.

Este modelo planetário prevê que o electrão se mova em espiral para dentro em direção ao núcleo, emitindo um espectro contínuo. Calcula-se que este processo não dure mais do que ${\displaystyle 1\times 10-8�}$, um tempo muito curto na verdade.